Kalkülüsün temel teoremi, türev ve integral kavramları arasındaki temel ilişkiyi kuran ve bu iki işlemin birbirinin tersi olduğunu gösteren önemli bir teoremdir. Teorem, esasen iki ayrı kısımdan oluşur:
1. Kalkülüsün Temel Teoremi (1. Kısım):
Bu kısım, belirli bir integralle tanımlanan bir fonksiyonun türevinin, integrali alınan fonksiyona eşit olduğunu ifade eder. Daha formel olarak, eğer f(x) sürekli bir fonksiyonsa ve F(x) aşağıdaki şekilde tanımlanmışsa:
F(x) = ∫[a, x] f(t) dt
burada a sabit bir sayıysa, o zaman F(x) fonksiyonu x'e göre türevlenebilir ve türevi f(x)'e eşittir. Yani:
F'(x) = d/dx ∫[a, x] f(t) dt = f(x)
Bu, integrali alınan fonksiyonun <a href="https://www.nedemek.page/kavramlar/integral">integrali</a> ile elde edilen alanın değişim oranının, fonksiyonun kendisi olduğunu söyler.
2. Kalkülüsün Temel Teoremi (2. Kısım):
Bu kısım, bir fonksiyonun belirli integralini hesaplamak için pratik bir yöntem sunar. Eğer f(x), [a, b] aralığında sürekli bir fonksiyonsa ve F(x), f(x)'in herhangi bir <a href="https://www.nedemek.page/kavramlar/antitürev">antiderivatifi</a> (ters türevi) ise, o zaman f(x)'in a'dan b'ye olan belirli integrali, F(x)'in b'deki değeri ile a'daki değeri arasındaki farka eşittir:
∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)
Bu, belirli bir integrali hesaplamanın, ilgili fonksiyonun bir antiderivatifini bulup, aralığın sınır noktalarındaki değerlerini çıkarmakla mümkün olduğunu gösterir.
Özetle:
Kalkülüsün temel teoremi, <a href="https://www.nedemek.page/kavramlar/türev">türev</a> alma ve integral alma işlemlerinin birbirinin tersi olduğunu gösterir ve belirli integralleri hesaplamak için güçlü bir araç sağlar. Bu teorem, matematik, fizik ve mühendislik gibi birçok alanda yaygın olarak kullanılır.